A. Persamaan Lingkaran.
Lingkaran adalah himpunan
titik-titik yang berjarak sama/tetap terhadap
titik tertentu, titik
tertentu ini adalah pusat lingkaran.
1.
Persamaan lingkaran
yang berpusat di O (0,0) dan berjari-jari r.
2. Persamaan lingkaran yang
berpusat di (a,b) dan berjari-jari r.
3. Bentuk umum persamaan lingkaran.
Dari persamaan bentuk 2 :
(x-a)2 + (y-b)2 = r2
x2 – 2ax + a2 + y2 – 2 by
+ b2 – r2 = 0
x2 + y2 - 2ax – 2 by + (a2 + b2 –
r2) = 0
Misal :
B. Posisi Titik Terhadap Lingkaran
● Untuk mengetahui posisi titik (h, k) terhadap lingkaran,
substitusikan
koordinat titik
tersebut ke persamaan lingkaran.
● Ada 3 kemungkinan posisi titik (h, k) terhadap lingkaran
x2 + y2
+ Ax + By + C = 0, yaitu:
- Jika h2 + k2 + A.h + B.k + C > 0 maka titik
(h,k) terletak di luar lingkaran
- Jika h2 + k2 + A.h + B.k + C = 0 maka titik (h,k)
terletak pada lingkaran
- Jika h2 + k2 + A.h + B.k + C
< 0 maka titik (h,k) terletak di dalam lingkaran
C. Posisi Garis Terhadap Lingkaran
● Untuk mengetahui
posisi garis y = mx + n terhadap lingkaran
x2 +y2 + Ax + By
+ C = 0, substitusikan persamaan, garis ke persamaan
lingkaran sehingga diperoleh persamaan
kuadrat dalam x atau y.
● Ada 3 kemungkinan
posisi garis g terhadap lingkaran, yaitu :
- Jika D > 0 maka garis memotong lingkaran
- Jika D = 0 maka garis menyinggung lingkaran
- Jika D < 0 maka garis tidak memotong dan juga tidak menyinggung
lingkaran
D. Persamaan Garis Singgung Lingkaran (PGS)
D. 1. Persamaan garis singgung yang
melalui titik (x,y) pada lingkaran.
D. 2. Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m.
Untuk
lingkaran x2 + y2 = r2
Misal
garis : y = mx + n ....(1)
Substitusi
ke dalam persamaan lingkaran didapat:
X2
+ (mx + n)2 = r2
(1
+ m2) (x2) + (2mn) (x) + (n2 – r2)
= 0
Garis
y = mx + n menyinggung lingkaran x2 + y2 = r2 , bila D = 0
(2mn)2
- (1+m2) (n2 –
r2) = 0
4m2
n2 – 4n2 + 4r2 – 4m2 n2
+ 4 m2 r2 = 0
4
(n2 – r2 – m2 r2 ) = 0 , maka n2 = r2 (1 + m2)
Untuk lingkaran (x-a)2 + (y-b)2 = r2
Misal : PGS : y = mx + n .................. (1)
Substitusi
kedalam persamaan
lingkaran (x-a)2 + (y-b)2
= r2
Latihan.
1. Tentukan pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran berikut :
a). x2 + y2 = 9 e). x2
+ (y + 4)2 = 20
b). x2 + y2 - 5 = 0 f). x2 + y2
+ 12x – 8y – 3 = 0
c). (x + 2)2 + (y -3)2 = 6 g). 3x2 + 3y2
– 9x + y + 3 = 0
d). (x -5)2 + y2 = 25
2. Tentukan persamaan lingkaran bila diketahui pusat dan jari-jari sebagai
berikut :
a). Pusat (0,0), jari-jari = 3
b). Pusat (4,0), jari-jari = 4
c). Pusat (0,-3), jari-jari = 3
d). Pusat (-2,6), jari-jari = 5
3. Diketahui titik A (0,4) dan titik B (0,7). Tentukan persamaan tempat
kedudukan titik Q (x,y) sedemikian AQ = 2 AB!
4. Tentukan persamaan lingkaran bila diketahui :
a). Titik-titik ujung salah satu diameternya di (4,-6) dan (8,-5)
b). Pusat di (0,0) dan lingkaran menyinggung garis y = 3
c). Pusat di (0,0) dan lingkaran menyinggung garis y = -5
d). Pusat di (0,0) dan lingkaran melalui titik (-4, 7)
e). Sepusat / konsentris dengan
lingkaran x2 + y2 = 49, tetapi jari-jarinya 2x jari-jari
lingkaran tersebut.
f). Pusatnya di (3,2) dan menyinggung
garis y = -1
g). Pusatnya di (4,-1) dan menyinggung
garis 2x + y = -6
h). Pusatnya di (6,2) dan menyinggung
garis x = y
i). Pusatnya di (-5,3) dan Luasnya 2x
luas lingkaran x2+y2 –4x+6y-1=0
5. Diketahui
persegi ABCD dengan A(3,1), B(7,1), C(7,5) dan D (3,5)
Tentukan persamaan lingkaran yang :
a). Melalui keempat titik sudut persegi tersebut (secara
bersamaan)
b). Menyinggung keempat sisi persegi tersebut (secara
bersamaan)
6. Tentukan nilai p agar titik berikut terletak pada lingkaran :
a). (p, - 10) ; x2
+ y2 = 225
b). (-3,1) ; (x+ p)2 + (y-3)2 =
5
7. Lingkaran x2 + y2 – 4 mx + 2 ny + 1 = 0 mempunyai
jari-jari 3 satuan dan menyinggung sb x. Tentukan nilai m dan n.
8. Tentukan persamaan 
yang melalui titik
potong-titik potong garis
3x – 5y + 2 = 0 ; x + y – 10 = 0 ; 3x – y + 4 = 0
9. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui Q (0,0) dan titik pusatnya
terletak pada garis 2x – y + 3 = 0 dan x + y – 9 = 0
10. a). Tentukan persamaan lingkaran yang berjari-jari 1 satuan dan
lingkaran tersebut menyinggung sb x dan sb y secara bersamaan.
b). Tentukan persamaan lingkaran yang
menyinggung semua lingkaran pada soal a).
11. Sebuah lingkaran melalui titik
(5,0) dan menyinggung garis 7x –
3y + 16 = 0 , sedangkan titik pusat lingkaran terletak pada garis 5x + 2y – 23
= 0. Tentukan persamaan lingkaran tersebut.
12. Sebuah lingkaran 
1 memotong sb
y di titik A(0,1) dan B(0,9) ; sedangkan titik pusat lingkarannya
terletak pada garis 3x + y + 1 = 0
a). Tentukan persamaan lingkaran 1 tersebut.
b). Tentukan persamaan lingkaran 2 yang menyinggung 1 dititik A dan m
elal
ui titik (0,5).
13. Carilah
persamaan garis singgung lingkaran berikut pada titik yang diketahui :
a). x2 + y2 = 40 di titik (-2, 6)
b). x2 + y2 = 40 di titik (3, 6)
-----------------------------------semoga bermanfaat------------------------------------------
