Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudu

A.    Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut Trigonometri

Pejelasan lebih lengkapnya dapat click di sini

B.     Contoh soal

C.     Latihan Soal

1.      Tentukan nilai dari

A.    Sin 75⁰

B.     Cos 105⁰

C.     Tan 165⁰

2.      Tentukan nilai dari

A.    Sin 24⁰.cos21⁰ + cos 24⁰.sin21⁰

B.     Cos 170⁰.cos20⁰ + sin 170⁰.sin20⁰

Luas Segitiga Sembarang yang Diketahui Satu Sisi dan Dua Sudut

Luas Segitiga Sembarang yang Diketahui Satu Sisi dan Dua Sudut

Luas segitiga sembarang yang diketahui panjang salah satu sisinya dan besar dua sudutnya diketahui sanggup ditentukan dengan memanfaatkan konsep trigonometri. Konsep yang akan dipakai dalam pembahasan ini yaitu konsep hukum sinus yang mengatakan perbandingan antara panjang sisi dengan sinus sudut di hadapannya. Karena segitiga mempunyai tiga sisi dan tiga sudut, maka akan ada tiga kemungkinan kondisi untuk unsur yang diketahui sehingga akan ada tiga rumus yang dibahas.

Oke langsung saja ke konsep luas segitiga dengan diketahui satu sisi dan dua sudut yaitu

Latihan Soal:

1.      Luas segitiga ABC jika diketahui <B = 60⁰ , <C = 30⁰ , dan a = 20 cm adalah ….

2.      Luas segitiga PQR jika diketahui panjang PQ = 16 cm, <P = 30⁰ dan <Q = 120⁰ adalah …

3.      Diketahui segitiga ABC adalah segitiga sama kaki dengan panjang BC = 18 cm. Jika <B = <C = 30⁰, maka luas segitiga ABC adalah ….

4.      Diketahui segitiga KLM dengan < K = <L = 45⁰. Jika LM = 32 cm,maka luasnya adalah ….

5.      Perhatikan gambar berikut.

Jika <S =60⁰, QR=10 cm dan PS = 16 cm,maka luas trapesium di atas adalah ….

Penggunaan Trigonometri dalam menentukan Luas Segitiga

Penggunaan Trigonometri dalam menentukan Luas Segitiga

Ketika Segitiga sembarang dengan diketahui ketiga sisinya maka luasnya adalah...

 

Untuk lebih jelasnya bisa tonton pembaasan dan contoh soal di sini

Kita tahu pada waktu sd untuk menetukan luas segitiga yaitu 1/2 (alas) x (tinggi). Rumus itu berlaku untuksemua segitiga baik lancip, siku-siku,dan tumpul.

L = ½ . c . h

Kita tahu dari materi sin adalah depan/miring, maka h = b.sin A, sehingga

L = ½ . c. b. sinA

Dari di atas kitadapat menarik rumus sebagai berikut

Untuk lebih jelasnya bisa tonton pembaasan dan contoh soal di sini

Latihan Soal

1.      Panjang sisi segitiga berturut-turut 10 cm, 16 cm, dan 14 cm. Luas segitiga tersebut adalah ….

2.      Luas segitiga ABCdalah 96 cm². Jika sisi segitiga tersebut adalah 12 cm, a cm,dan 20 cm, maka keliling segitiga ABC adalah ….

3.      Perhatikan gambar berikut.

Luas segitiga ABC adalah …

4.      Segitiga PQR mempunyai sudut Q = 60⁰. Jika panjang PQ = 24 cm dan QR =30 cm, maka luas segitiga PQR adalah ….

5.      Sebuah segitiga KLM dengan sudut K = 120⁰. Jika panjang sisi KL dan KM berturut-turut 12 cm dan 13 cm, maka lus segitiga KLM adalah…

6.      Perhatikan gambar berikut!

Luas jajar genjang di atas adalah ….

7.      Perhatikan gambar berikut.

JIka panjang OA = 8 cm, maka luas bangun di atas adalah….


--------------------Semoga Bermanfaat--------------------

Lingkaran

A.     Persamaan Lingkaran.

Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama/tetap terhadap

titik tertentu, titik tertentu ini adalah pusat lingkaran.

1. 
Persamaan lingkaran yang berpusat di O (0,0) dan berjari-jari r.

     2. Persamaan lingkaran yang berpusat di (a,b) dan berjari-jari r.

    3.  Bentuk umum persamaan lingkaran.

Dari persamaan bentuk 2 :

(x-a)² + (y-b)² = r²

x² – 2ax + a² + y² – 2 by + b² – r² = 0

x² + y² -  2ax – 2 by + (a² + b² – r²) = 0

Misal :

B.     Posisi Titik Terhadap Lingkaran

● Untuk mengetahui posisi titik (h, k) terhadap lingkaran, substitusikan

   koordinat titik tersebut ke persamaan lingkaran.

● Ada 3 kemungkinan posisi titik (h, k) terhadap lingkaran

    x² + y² + Ax + By + C = 0,  yaitu:

-     Jika h² + k² + A.h + B.k + C > 0 maka titik (h,k) terletak di luar lingkaran

-     Jika h² + k² + A.h + B.k + C = 0 maka titik (h,k) terletak pada lingkaran

            -  Jika h² + k² + A.h + B.k + C < 0 maka titik (h,k) terletak di dalam lingkaran 

C.   Posisi Garis Terhadap Lingkaran

●  Untuk mengetahui posisi garis y = mx + n terhadap lingkaran

x² +y² + Ax + By + C = 0, substitusikan persamaan, garis ke persamaan

lingkaran sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x atau y.

●  Ada 3 kemungkinan posisi garis g terhadap lingkaran, yaitu :

-     Jika D > 0 maka garis memotong lingkaran

-     Jika D = 0 maka garis menyinggung lingkaran

-     Jika D < 0 maka garis tidak memotong dan juga tidak menyinggung lingkaran

D.    Persamaan Garis Singgung Lingkaran (PGS)

D. 1. Persamaan garis singgung yang melalui titik (x,y) pada lingkaran.

      D. 2. Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m.

       Untuk lingkaran x² + y² = r²

Misal garis : y = mx + n ....(1)

Substitusi ke dalam persamaan lingkaran didapat: 

X² + (mx + n)² = r²

(1 + m²) (x²) + (2mn) (x) + (n² – r²) = 0

Garis y = mx + n menyinggung lingkaran x² + y² =   r² , bila D = 0

(2mn)²  - (1+m²) (n² – r²) = 0

4m² n² – 4n² + 4r² – 4m² n² + 4 m² r² = 0

4 (n² – r² – m² r² ) = 0 , maka  n² = r² (1 + m²) 

Untuk lingkaran (x-a)² + (y-b)² = r²

Misal : PGS : y = mx + n .................. (1)

    Substitusi  kedalam persamaan

    lingkaran (x-a)² + (y-b)² = r²

Latihan.

1.     Tentukan pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran berikut :

a). x² + y² = 9                              e). x² + (y + 4)² = 20

b). x² + y² - 5 = 0                   f). x² + y² + 12x – 8y – 3 = 0

c). (x + 2)² + (y -3)² = 6              g). 3x² + 3y² – 9x + y + 3 = 0

d). (x -5)² + y² = 25

2.     Tentukan persamaan lingkaran bila diketahui pusat dan jari-jari sebagai berikut :

a). Pusat (0,0), jari-jari = 3

b). Pusat (4,0), jari-jari = 4

c). Pusat (0,-3), jari-jari = 3

d). Pusat (-2,6), jari-jari = 5

3.     Diketahui titik A (0,4) dan titik B (0,7). Tentukan persamaan tempat kedudukan titik Q (x,y) sedemikian AQ = 2 AB!

4.     Tentukan persamaan lingkaran bila diketahui :

a). Titik-titik ujung salah satu diameternya di (4,-6) dan (8,-5)

b). Pusat di (0,0) dan lingkaran menyinggung garis y = 3

c). Pusat di (0,0) dan lingkaran menyinggung garis y = -5

d). Pusat di (0,0) dan lingkaran melalui titik (-4, 7)

e). Sepusat / konsentris dengan lingkaran x² + y² = 49, tetapi jari-jarinya 2x jari-jari lingkaran tersebut.

f). Pusatnya di (3,2) dan menyinggung garis y = -1

g). Pusatnya di (4,-1) dan menyinggung garis 2x + y = -6

h). Pusatnya di (6,2) dan menyinggung garis x = y

i). Pusatnya di (-5,3) dan Luasnya 2x luas lingkaran x²+y² –4x+6y-1=0

5.    Diketahui persegi ABCD dengan A(3,1), B(7,1), C(7,5) dan D (3,5)

Tentukan persamaan lingkaran yang :

a). Melalui keempat titik sudut persegi tersebut (secara bersamaan)

b). Menyinggung keempat sisi persegi tersebut (secara bersamaan)

6.     Tentukan nilai p agar titik berikut terletak pada lingkaran :

a). (p, - 10) ;        x² + y² = 225

b). (-3,1)     ;        (x+ p)² + (y-3)² = 5

7.     Lingkaran x² + y² – 4 mx + 2 ny + 1 = 0 mempunyai jari-jari 3 satuan dan menyinggung sb x. Tentukan nilai m dan n.

8.     Tentukan persamaan  yang melalui titik potong-titik potong garis

3x – 5y + 2 = 0 ; x + y – 10 = 0 ; 3x – y + 4 = 0

9.     Tentukan persamaan lingkaran yang melalui Q (0,0) dan titik pusatnya terletak pada garis 2x – y + 3 = 0 dan x + y – 9 = 0

10.  a). Tentukan persamaan lingkaran yang berjari-jari 1 satuan dan lingkaran tersebut menyinggung sb x dan sb y secara bersamaan.

b). Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung semua lingkaran pada soal a).

11.  Sebuah lingkaran melalui titik  (5,0) dan menyinggung garis   7x – 3y + 16 = 0 , sedangkan titik pusat lingkaran terletak pada garis 5x + 2y – 23 = 0. Tentukan persamaan lingkaran tersebut.

12.  Sebuah lingkaran ₁ memotong sb y di titik A(0,1) dan B(0,9) ; sedangkan titik pusat lingkarannya terletak pada garis 3x + y + 1 = 0

a). Tentukan persamaan lingkaran  ₁ tersebut.

b). Tentukan persamaan lingkaran ₂ yang menyinggung ₁ dititik A dan melalui titik (0,5).

13.  Carilah persamaan garis singgung lingkaran berikut pada titik yang diketahui :

a). x² + y² = 40 di titik (-2, 6)

b). x² + y² = 40 di titik (3, 6)

-----------------------------------semoga bermanfaat------------------------------------------

Kaidah Pencacahan dan Contoh Soalnya

Kaidah Pencacahan

Aturan Penjumlahan

Apabila kegiatan 1, kegiatan 2, sampai kegiatan ke-n adalah kegiatan-kegiatan yang saling lepas, dan misalkan kegiatan 1 terjadi dengan n₁ cara, kegiatan 2 terjadi dengan n₂ dan kegiatan ke-n terjadi dengan nknk cara, maka banyak kegiatan tersebut akan terjadi sebanyak n₁+n₂+⋯+nk

Aturan Perkalian

Apabila kegiatan 1, kegiatan 2, sampai kegiatan ke-n adalah kegiatan-kegiatan yang tidak saling lepas, dan misalkan kegiatan 1 terjadi dengan n₁ cara, kegiatan 2 terjadi dengan n₂ dan kegiatan ke-n terjadi dengan nknk cara, maka banyak kegiatan tersebut akan terjadi sebanyak n₁×n₂×⋯×nk

Faktorial

Faktorial dilambangkan dengan tanda seru "!" pertama kali diperkenalkan pada tahun 1808 oleh Christian Kramo (1760-1826) di Strasbourg, Prancis. Beliau mengunakan simbol ini untuk menghindari kesulitan pencetakan yang disebabkan simbol yang digunakan sebelumnya.
n! dibaca "n faktorial" didefenisikan:

n!=n×(n−1)×(n−2)×(n−3)×⋯×1
dimana n adalah bilangan asli dan 0!=1

Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan dari n elemen berbeda tanpa ada elemen yang boleh diulang. Dalam permutasi urutan sangat diperhatikan. Banyak permutasi r elemen dari n elemen berbeda diberi notasi P(n,r)  atau nPr dimana r≤n.

Permutasi Melingkar

Permutasi Melingkar adalah suatu susunan dari nn elemen berbeda tanpa ada elemen yang boleh diulang dimana dalam keadaan melingkar. Banyak permutasi melingkar dari nn elemen berbeda diberi notasi P(n,siklis) atau Pnsiklis atau nP_siklis.

P_nsiklis=(n−r)!

Permutasi ada unsur yang sama

Permutasi ada unsur yang sama adalah suatu susunan dari nn elemen dimana ada beberapa unsur yang sama dari unsur-unsur yang akan disusun. Banyak permutasi ada unsur yang sama dari nn elemen dimana unsur-unsur yang sama adalah n₁,n₂, diberi notasi P(n,n₁,n₂,n_k)  dimana n₁+n₂+n_k≤n

Kombinasi

Kombinasi adalah suatu susunan dari nn elemen berbeda dimana urutan tidak diperhatikan. Banyak kombinasi r elemen dari nn elemen berbeda diberi notasi C(n,r) atau nCr dimana r≤nr≤n.

Contoh :

Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan tidak ada setiap pemain dan pasangannya berdekatan adalah...

Pembahasan :

Untuk menyelesaikan soal diatas kita coba dengan menyederhanakan masalahnya menjadi:
Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan posisi berfoto bebas adalah:
6×5×4×⋯×1=6!=720

Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan posisi berfoto setiap pasangan ganda harus berdekatan. Dengan menganggap satu pasangan adalah "satu" unsur maka unsur yang akan disusun adalah "tiga" dan setiap pasangan berdekatan ada 2! posisi yang mungkin terjadi sehingga banyak posisi berfoto adalah:
3×2×1×2!×2!×2!=48

Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan tidak setiap pemain dan pasangannya berdekatan adalah banyak posisi berfoto posisi bebas dikurang posisi foto harus berdekatan yaitu 720−48=672

Soal :

1.      Soal SBMPTN 2017 Kode 241

Jika dua truk dan tiga bus akan diparkir pada lima tempat parkir yang berderet memanjang serta kedua truk yang diparkir tidak bersebelahan, maka banyak susunan parkir berbeda adalah...
(A) 42

(B) 52

(C) 62

(D) 72

(E) 82

2.      Soal UNBK Matematika 2018

Banyak bilangan terdiri dari angka berlainan antara 100 dan 400 yang dapat disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4,  adalah...

(A) 36

(B) 48

(C) 52

(D) 60

(E) 68

3.      Soal UNBK Matematika 2018

Seorang pedagang boneka gemar menata barang dagangannya sehingga nampak tersusun rapi, variatif, dan menarik pembeli. Dalam satu etalse, barang dengan tipe sama yang diperdagangkan adalah 3 boneka warna merah, 4 biru, dan 5 kuning. Jika pedagang itu menata boneka-boneka tersebut dengan boneka kuning harus berdampingan, banyak cara menata ke-12 boneka adalah...

(A) 280 cara

(B) 560 cara

(C) 720 cara

(D) 2.720 cara

(E) 5.440 cara

4.      Soal UNBK Matematika 2018

Dalam pemilihan pengurus Karang Taruna akan dipilih ketua, sekretaris, dan bendahara dari 10 orang. Banyak cara yang dapat dilakukan adalah...

(A) 72

(B) 120

(C) 360

(D) 720

5.      Soal UNBK Matematika 2018

Panitia lomba olimpiade matematika membuat nomor peserta yang disusun dari angka 1, 3, 3, 4, dan 7. Jika nomor-nomor tersebut disusun berdasarkan kodenya mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar, nomor peserta 43137 berada pada urutan ke-...
(A) 40

(B) 42

(C) 44

(D) 85

(E) 86