Lingkaran

A.     Persamaan Lingkaran.

Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama/tetap terhadap

titik tertentu, titik tertentu ini adalah pusat lingkaran.

1. 
Persamaan lingkaran yang berpusat di O (0,0) dan berjari-jari r.

     2. Persamaan lingkaran yang berpusat di (a,b) dan berjari-jari r.

    3.  Bentuk umum persamaan lingkaran.

Dari persamaan bentuk 2 :

(x-a)² + (y-b)² = r²

x² – 2ax + a² + y² – 2 by + b² – r² = 0

x² + y² -  2ax – 2 by + (a² + b² – r²) = 0

Misal :

B.     Posisi Titik Terhadap Lingkaran

● Untuk mengetahui posisi titik (h, k) terhadap lingkaran, substitusikan

   koordinat titik tersebut ke persamaan lingkaran.

● Ada 3 kemungkinan posisi titik (h, k) terhadap lingkaran

    x² + y² + Ax + By + C = 0,  yaitu:

-     Jika h² + k² + A.h + B.k + C > 0 maka titik (h,k) terletak di luar lingkaran

-     Jika h² + k² + A.h + B.k + C = 0 maka titik (h,k) terletak pada lingkaran

            -  Jika h² + k² + A.h + B.k + C < 0 maka titik (h,k) terletak di dalam lingkaran 

C.   Posisi Garis Terhadap Lingkaran

●  Untuk mengetahui posisi garis y = mx + n terhadap lingkaran

x² +y² + Ax + By + C = 0, substitusikan persamaan, garis ke persamaan

lingkaran sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x atau y.

●  Ada 3 kemungkinan posisi garis g terhadap lingkaran, yaitu :

-     Jika D > 0 maka garis memotong lingkaran

-     Jika D = 0 maka garis menyinggung lingkaran

-     Jika D < 0 maka garis tidak memotong dan juga tidak menyinggung lingkaran

D.    Persamaan Garis Singgung Lingkaran (PGS)

D. 1. Persamaan garis singgung yang melalui titik (x,y) pada lingkaran.

      D. 2. Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m.

       Untuk lingkaran x² + y² = r²

Misal garis : y = mx + n ....(1)

Substitusi ke dalam persamaan lingkaran didapat: 

X² + (mx + n)² = r²

(1 + m²) (x²) + (2mn) (x) + (n² – r²) = 0

Garis y = mx + n menyinggung lingkaran x² + y² =   r² , bila D = 0

(2mn)²  - (1+m²) (n² – r²) = 0

4m² n² – 4n² + 4r² – 4m² n² + 4 m² r² = 0

4 (n² – r² – m² r² ) = 0 , maka  n² = r² (1 + m²) 

Untuk lingkaran (x-a)² + (y-b)² = r²

Misal : PGS : y = mx + n .................. (1)

    Substitusi  kedalam persamaan

    lingkaran (x-a)² + (y-b)² = r²

Latihan.

1.     Tentukan pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran berikut :

a). x² + y² = 9                              e). x² + (y + 4)² = 20

b). x² + y² - 5 = 0                   f). x² + y² + 12x – 8y – 3 = 0

c). (x + 2)² + (y -3)² = 6              g). 3x² + 3y² – 9x + y + 3 = 0

d). (x -5)² + y² = 25

2.     Tentukan persamaan lingkaran bila diketahui pusat dan jari-jari sebagai berikut :

a). Pusat (0,0), jari-jari = 3

b). Pusat (4,0), jari-jari = 4

c). Pusat (0,-3), jari-jari = 3

d). Pusat (-2,6), jari-jari = 5

3.     Diketahui titik A (0,4) dan titik B (0,7). Tentukan persamaan tempat kedudukan titik Q (x,y) sedemikian AQ = 2 AB!

4.     Tentukan persamaan lingkaran bila diketahui :

a). Titik-titik ujung salah satu diameternya di (4,-6) dan (8,-5)

b). Pusat di (0,0) dan lingkaran menyinggung garis y = 3

c). Pusat di (0,0) dan lingkaran menyinggung garis y = -5

d). Pusat di (0,0) dan lingkaran melalui titik (-4, 7)

e). Sepusat / konsentris dengan lingkaran x² + y² = 49, tetapi jari-jarinya 2x jari-jari lingkaran tersebut.

f). Pusatnya di (3,2) dan menyinggung garis y = -1

g). Pusatnya di (4,-1) dan menyinggung garis 2x + y = -6

h). Pusatnya di (6,2) dan menyinggung garis x = y

i). Pusatnya di (-5,3) dan Luasnya 2x luas lingkaran x²+y² –4x+6y-1=0

5.    Diketahui persegi ABCD dengan A(3,1), B(7,1), C(7,5) dan D (3,5)

Tentukan persamaan lingkaran yang :

a). Melalui keempat titik sudut persegi tersebut (secara bersamaan)

b). Menyinggung keempat sisi persegi tersebut (secara bersamaan)

6.     Tentukan nilai p agar titik berikut terletak pada lingkaran :

a). (p, - 10) ;        x² + y² = 225

b). (-3,1)     ;        (x+ p)² + (y-3)² = 5

7.     Lingkaran x² + y² – 4 mx + 2 ny + 1 = 0 mempunyai jari-jari 3 satuan dan menyinggung sb x. Tentukan nilai m dan n.

8.     Tentukan persamaan  yang melalui titik potong-titik potong garis

3x – 5y + 2 = 0 ; x + y – 10 = 0 ; 3x – y + 4 = 0

9.     Tentukan persamaan lingkaran yang melalui Q (0,0) dan titik pusatnya terletak pada garis 2x – y + 3 = 0 dan x + y – 9 = 0

10.  a). Tentukan persamaan lingkaran yang berjari-jari 1 satuan dan lingkaran tersebut menyinggung sb x dan sb y secara bersamaan.

b). Tentukan persamaan lingkaran yang menyinggung semua lingkaran pada soal a).

11.  Sebuah lingkaran melalui titik  (5,0) dan menyinggung garis   7x – 3y + 16 = 0 , sedangkan titik pusat lingkaran terletak pada garis 5x + 2y – 23 = 0. Tentukan persamaan lingkaran tersebut.

12.  Sebuah lingkaran ₁ memotong sb y di titik A(0,1) dan B(0,9) ; sedangkan titik pusat lingkarannya terletak pada garis 3x + y + 1 = 0

a). Tentukan persamaan lingkaran  ₁ tersebut.

b). Tentukan persamaan lingkaran ₂ yang menyinggung ₁ dititik A dan melalui titik (0,5).

13.  Carilah persamaan garis singgung lingkaran berikut pada titik yang diketahui :

a). x² + y² = 40 di titik (-2, 6)

b). x² + y² = 40 di titik (3, 6)

-----------------------------------semoga bermanfaat------------------------------------------