Kaidah Pencacahan dan Contoh Soalnya

Kaidah Pencacahan

Aturan Penjumlahan

Apabila kegiatan 1, kegiatan 2, sampai kegiatan ke-n adalah kegiatan-kegiatan yang saling lepas, dan misalkan kegiatan 1 terjadi dengan n₁ cara, kegiatan 2 terjadi dengan n₂ dan kegiatan ke-n terjadi dengan nknk cara, maka banyak kegiatan tersebut akan terjadi sebanyak n₁+n₂+⋯+nk

Aturan Perkalian

Apabila kegiatan 1, kegiatan 2, sampai kegiatan ke-n adalah kegiatan-kegiatan yang tidak saling lepas, dan misalkan kegiatan 1 terjadi dengan n₁ cara, kegiatan 2 terjadi dengan n₂ dan kegiatan ke-n terjadi dengan nknk cara, maka banyak kegiatan tersebut akan terjadi sebanyak n₁×n₂×⋯×nk

Faktorial

Faktorial dilambangkan dengan tanda seru "!" pertama kali diperkenalkan pada tahun 1808 oleh Christian Kramo (1760-1826) di Strasbourg, Prancis. Beliau mengunakan simbol ini untuk menghindari kesulitan pencetakan yang disebabkan simbol yang digunakan sebelumnya.
n! dibaca "n faktorial" didefenisikan:

n!=n×(n−1)×(n−2)×(n−3)×⋯×1
dimana n adalah bilangan asli dan 0!=1

Permutasi

Permutasi adalah suatu susunan dari n elemen berbeda tanpa ada elemen yang boleh diulang. Dalam permutasi urutan sangat diperhatikan. Banyak permutasi r elemen dari n elemen berbeda diberi notasi P(n,r)  atau nPr dimana r≤n.

Permutasi Melingkar

Permutasi Melingkar adalah suatu susunan dari nn elemen berbeda tanpa ada elemen yang boleh diulang dimana dalam keadaan melingkar. Banyak permutasi melingkar dari nn elemen berbeda diberi notasi P(n,siklis) atau Pnsiklis atau nP_siklis.

P_nsiklis=(n−r)!

Permutasi ada unsur yang sama

Permutasi ada unsur yang sama adalah suatu susunan dari nn elemen dimana ada beberapa unsur yang sama dari unsur-unsur yang akan disusun. Banyak permutasi ada unsur yang sama dari nn elemen dimana unsur-unsur yang sama adalah n₁,n₂, diberi notasi P(n,n₁,n₂,n_k)  dimana n₁+n₂+n_k≤n

Kombinasi

Kombinasi adalah suatu susunan dari nn elemen berbeda dimana urutan tidak diperhatikan. Banyak kombinasi r elemen dari nn elemen berbeda diberi notasi C(n,r) atau nCr dimana r≤nr≤n.

Contoh :

Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan tidak ada setiap pemain dan pasangannya berdekatan adalah...

Pembahasan :

Untuk menyelesaikan soal diatas kita coba dengan menyederhanakan masalahnya menjadi:
Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan posisi berfoto bebas adalah:
6×5×4×⋯×1=6!=720

Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan posisi berfoto setiap pasangan ganda harus berdekatan. Dengan menganggap satu pasangan adalah "satu" unsur maka unsur yang akan disusun adalah "tiga" dan setiap pasangan berdekatan ada 2! posisi yang mungkin terjadi sehingga banyak posisi berfoto adalah:
3×2×1×2!×2!×2!=48

Banyak susunan berfoto berjajar untuk 3 pasang pemain bulutangkis ganda dengan tidak setiap pemain dan pasangannya berdekatan adalah banyak posisi berfoto posisi bebas dikurang posisi foto harus berdekatan yaitu 720−48=672

Soal :

1.      Soal SBMPTN 2017 Kode 241

Jika dua truk dan tiga bus akan diparkir pada lima tempat parkir yang berderet memanjang serta kedua truk yang diparkir tidak bersebelahan, maka banyak susunan parkir berbeda adalah...
(A) 42

(B) 52

(C) 62

(D) 72

(E) 82

2.      Soal UNBK Matematika 2018

Banyak bilangan terdiri dari angka berlainan antara 100 dan 400 yang dapat disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4,  adalah...

(A) 36

(B) 48

(C) 52

(D) 60

(E) 68

3.      Soal UNBK Matematika 2018

Seorang pedagang boneka gemar menata barang dagangannya sehingga nampak tersusun rapi, variatif, dan menarik pembeli. Dalam satu etalse, barang dengan tipe sama yang diperdagangkan adalah 3 boneka warna merah, 4 biru, dan 5 kuning. Jika pedagang itu menata boneka-boneka tersebut dengan boneka kuning harus berdampingan, banyak cara menata ke-12 boneka adalah...

(A) 280 cara

(B) 560 cara

(C) 720 cara

(D) 2.720 cara

(E) 5.440 cara

4.      Soal UNBK Matematika 2018

Dalam pemilihan pengurus Karang Taruna akan dipilih ketua, sekretaris, dan bendahara dari 10 orang. Banyak cara yang dapat dilakukan adalah...

(A) 72

(B) 120

(C) 360

(D) 720

5.      Soal UNBK Matematika 2018

Panitia lomba olimpiade matematika membuat nomor peserta yang disusun dari angka 1, 3, 3, 4, dan 7. Jika nomor-nomor tersebut disusun berdasarkan kodenya mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar, nomor peserta 43137 berada pada urutan ke-...
(A) 40

(B) 42

(C) 44

(D) 85

(E) 86